\section{若尔当标准形的理论推导}

\begin{frame}{Jordan形矩阵的初等因子}

我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题。首先计算若尔当标准形的初等因子。

\begin{lemma}\label{0EB}%
若尔当块
\[
  J(\lambda_0, n)=\begin{pmatrix}
    \lambda_{0} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
  1 & \lambda_{0} & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda_{0}
\end{pmatrix}_{n \times n}
\]
的初等因子是 $\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n}$.
一般地，若尔当形矩阵
\[
 J=\begin{pmatrix}
 J_{1} & & & \\
&  J_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & &  J_{s}
\end{pmatrix}\quad (\text{其中~} J_i=J(\lambda_i, k_i))
\]
的初等因子组为
\[
  \left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{1}},\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{2}}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{k_{s}}.
\]
\end{lemma}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{proof}
  令$J_0=J(\lambda_0, n)$. 考虑它的特征矩阵
\[
  \lambda  E- J_{0}=\begin{pmatrix}
    \lambda-\lambda_{0} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
  -1 & \lambda-\lambda_{0} & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda-\lambda_{0}
\end{pmatrix}
\]
显然 $\left|\lambda  E- J_{0}\right|=\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n}$, 这就是 $\lambda  E- J_{0}$ 的 $n$ 阶行列式因子。
由于 $\lambda E-J_{0}$ 有一个 $n-1$ 阶子式是
\[
  \begin{vmatrix}
  -1 & \lambda-\lambda_{0} & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda-\lambda_{0} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & -1
\end{vmatrix}=(-1)^{n-1},
\]
所以它的 $n-1$ 阶行列式因子是 $1$ , 从而它以下各阶的行列式因子全是 $1$. 因此， 它的不变因子为
\(
d_{1}(\lambda)=\cdots=d_{n-1}(\lambda)=1,\)
\(
  d_{n}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n} .
\)
由此即得， $\lambda  E- J_{0}$ 的初等因子是 $\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n}$.
一般地， 考虑Jordan形矩阵$J=J_1\oplus\cdots \oplus J_s$, 其中$J_i=J(\lambda_i, k_i)$. 
既然 $ J_{i}$ 的初等因子是 $\left(\lambda-\lambda_{i}\right)^{k_{i}}$ ($i=1,2, \cdots, s$), 
由推论~\ref{100}~可知 $ J$ 的全部初等因子可由这些初等因子合并得到。
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}{复矩阵 (线性变换) 的Jordan标准形的存在性与唯一性}

  由于每个若尔当块$J(\lambda_0, n)$完全被它的阶数 $n$ 与主对角线上元素 $\lambda_{0}$ 所刻画，而这两个数都反映在它的初等因子 $\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n}$ 中。 因此， 若尔当块被它的初等因子唯一决定。 而每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当块的初等因子构成的，因此若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它的初等因子唯一决定。
\begin{theorem}\label{145}
  每个 $n$ 阶的复矩阵 $ A$ 都与一个若尔当形矩阵相似， 这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵 $ A$ 唯一决定的，它称为 $ A$ 的\emph{若尔当标准形} (Jordan canonical form)。
实际上，若$A$的初等因子组为
\[\tag{1}
  \left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{1}},\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{2}}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{k_{s}},
\]
则
$A$相似于Jordan形矩阵$J=J(\lambda_1,k_1)\oplus J(\lambda_2, k_2) \oplus \cdots \oplus J(\lambda_s, k_s)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
  由引理~\ref{0EB}~可知， $ J$ 的初等因子也是 (1). 既然 $ J$ 与 $ A$ 有相同的初等因子， 它们相似。
  如果另一若尔当形矩阵 $ J^{\prime}$ 与 $ A$ 相似， 那么 $ J^{\prime}$ 与 $ A$ 
  就有相同的初等因子组 (相差个初等因子的排序)， 
  因此 $ J^{\prime}$ 与 $ J$ 除了其中若尔当块排列的次序外是相同的，由此即得唯一性。 
\end{proof}

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
    在 \S5 的例~\ref{134}~中， 所给 $12$ 阶矩阵的若尔当标准形就是
  \[
    \begin{tikzpicture}
      \matrix (m) [matrix of math nodes, 
        ampersand replacement=\&, column sep={3pt}, row sep={3pt},
left delimiter=(,right delimiter=)] {
  1 \& 0 \& \& \&  \&  \& \& \& \& \& \&   \\
      1 \& 1 \& \& \&  \&  \& \& \& \& \& \& \\
      \& \& 1\& 0\&  \&  \& \& \& \& \& \&  \\
      \& \& 1\& 1\&  \&  \& \& \& \& \& \&  \\
      \& \& \& \& 1 \&0  \& \& \& \& \& \&  \\
      \& \& \& \& 1 \& 1 \& \& \& \& \& \&  \\
      \& \& \& \&  \&  \& -1\& \& \& \& \&  \\
      \& \& \& \&  \&  \& \& -1\& \& \& \&  \\
      \& \& \& \&  \&  \& \& \& i\& 0 \& \&  \\
      \& \& \& \&  \&  \& \& \& 1\& i\& \&  \\
      \& \& \& \&  \&  \& \& \& \& \&-i \&0  \\
      \& \& \& \&  \&  \& \& \& \& \& 1\& -i \\
    };
    \draw [dashed] (m-1-1.north west) rectangle (m-2-2.south east);
    \draw [dashed] (m-3-3.north west) rectangle (m-4-4.south east);
    \draw [dashed] (m-5-5.north west) rectangle (m-6-6.south east);
    \draw [dashed] (m-7-7.north west) rectangle (m-7-7.south east);
    \draw [dashed] (m-8-8.north west) rectangle (m-8-8.south east);
    \draw [dashed] (m-9-9.north west) rectangle (m-10-10.south east);
    \draw [dashed] (m-11-11.north west) rectangle (m-12-12.south east);
    \end{tikzpicture}
  \]
\end{example}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
我们来求矩阵
\[
A=\begin{pmatrix}
-1 & -2 & 6 \\
-1 & 0 & 3 \\
-1 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\]
的若尔当标准形。
首先求特征矩阵 $\lambda  E- A$ 的初等因子：
\[
\begin{aligned}
  \lambda  E- A= & \begin{pmatrix}
\lambda+1 & 2 & -6 \\
1 & \lambda & -3 \\
1 & 1 & \lambda-4
\end{pmatrix} \xrightarrow[r_2-r_3]{r_1-r_3\times (\lambda+1)}\begin{pmatrix}
0 & -\lambda+1 & -\lambda^{2}+3 \lambda-2 \\
0 & \lambda-1 & -\lambda+1 \\
1 & 1 & \lambda-4
\end{pmatrix} \\
\xrightarrow[r_1\leftrightarrow r_3]{\substack{c_2-c_1\\ c_3-c_1\times (\lambda-4)}} &
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda-1 & -\lambda+1 \\
0 & -\lambda+1 & -\lambda^{2}+3 \lambda-2
\end{pmatrix}  \xrightarrow{r_3+r_2}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda-1 & -\lambda+1 \\
0 & 0 & -\lambda^{2}+2 \lambda-1
\end{pmatrix} \\
\xrightarrow{c_3+c_2} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda-1 & 0 \\
0 & 0 & (\lambda-1)^{2}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
因此， $ A$ 的初等因子是 $\lambda-1,(\lambda-1)^{2},  A$ 的若尔当标准形是
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix} .
\)
\end{example}
\end{frame}


\begin{frame}

上述定理换成线性变换的语言来说就是
\begin{theorem}
设 $\mathscr{A}$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换， 在 $V$ 中必定存在一组基， 使 $\sA$ 在这组基下的矩阵是若尔当标准形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被 $\mathscr{A}$ 唯一决定的。
\end{theorem}

\begin{proof}
  在 $V$ 中任取一组基 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$, 设 $\mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵是 $A$. 由定理~\ref{145}, 存在可逆矩阵 $T$,使 $T^{-1} A T$ 成若尔当标准形。 于是在由
\[
\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}\right)=\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)  T
\]
确定的基 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 下， 线性变换 $\mathscr{A}$ 的矩阵就是 $ T^{-1}  A  T$. 由定理~\ref{145}, 唯一性是显然的。
\end{proof}

虽然我们证明了每个复矩阵 $ A$ 都与一个若尔当形矩阵相似，并且有了具体求矩阵 $ A$ 的若尔当标准形的方法，但是并没有谈到如何确定过渡矩阵 $ T$, 使 $ T^{-1}  A T$ 成若尔当标准形的问题。 $T$ 的确定牵涉比较复杂的计算问题，在这里就不讨论了。


\end{frame}


\begin{frame}{可对角化的刻画}

若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，利用Jordan标准形我们可得（我们加上了之前学过的几条等价条件）
\begin{theorem}\label{13A}
  令$A\in \bC^{n\times n}$. 下列等价：
\begin{enumerate}
  \item $A$ 可对角化（即与对角矩阵相似）。
  \item $A$ 有$n$个特征向量线性无关。
  \item $A$的任一特征值都半单（即该特征值的几何重数和代数重数相等）。
  \item $ A$ 的初等因子全为一次的。
  \item $ A$ 的不变因子都没有重根。
  \item $A$ 的最小多项式没有重根。
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
  只用证明(1)$\Leftrightarrow$(4)$\Leftrightarrow$(5). 

 (1)$\Leftrightarrow$(4) 由Jordan标准形的存在性与唯一性可知，$A$可对角化当且仅当$A$的Jordan标准形为对角矩阵，
 而这反过来相当于$A$的初等因子都是一次的。


  (4)$\Leftrightarrow$(5) 显然。
\end{proof}
\end{frame}


%最后指出，如果我们规定上三角形矩阵
%\[
%\begin{pmatrix}
%\lambda_{0} & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
%0 & \lambda_{0} & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
%\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
%0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{0} & 1 \\
%0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{0}
%\end{pmatrix}
%\]
%为若尔当块，应用完全类似的方法， 可以证明相应于定理 10 , 定理 11 的结论也成立。

\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 如何从复数域上的数字矩阵的特征矩阵获得其Jordan标准形？
      \pause
    \item 你知道哪些复方阵可对角化的刻画？
      \pause
  \end{enumerate}
\end{frame}
